Matemática discreta Ejemplos

$4 x - 3 y = 54$ , $3 x + 4 y = 3$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x - 3 y = 54$ .

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Paso 1.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 54 + 3 y$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 54 + 3 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 54 + 3 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{54}{4} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{54}{4} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{54}{4} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

$x = \frac{54}{4} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

$x = \frac{54}{4} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $54$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $54$ .

$x = \frac{2 (27)}{4} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 3$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x + 4 y = 3$ por $\frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$ .

$3 (\frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}) + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}) + 4 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{27}{2}) + 3 (\frac{3 y}{4}) + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (\frac{27}{2})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{27}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 27}{2} + 3 (\frac{3 y}{4}) + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $27$ .

$\frac{81}{2} + 3 (\frac{3 y}{4}) + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + 3 (\frac{3 y}{4}) + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3 \frac{3 y}{4}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $3$ y $\frac{3 y}{4}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{3 (3 y)}{4} + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{81}{2} + \frac{9 y}{4} + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{9 y}{4} + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{9 y}{4} + 4 y = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $4 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{9 y}{4} + 4 y \cdot \frac{4}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $4 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{9 y}{4} + \frac{4 y \cdot 4}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} + \frac{9 y + 4 y \cdot 4}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{9 y + 4 y \cdot 4}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $9 y + 4 y \cdot 4$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $9 y$ .

$\frac{81}{2} + \frac{y \cdot 9 + 4 y \cdot 4}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $4 y \cdot 4$ .

$\frac{81}{2} + \frac{y \cdot 9 + y (4 \cdot 4)}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 9 + y (4 \cdot 4)$ .

$\frac{81}{2} + \frac{y (9 + 4 \cdot 4)}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{y (9 + 4 \cdot 4)}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{81}{2} + \frac{y (9 + 16)}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Suma $9$ y $16$ .

$\frac{81}{2} + \frac{y \cdot 25}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{y \cdot 25}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $25$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{81}{2} + \frac{25 y}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{25 y}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{25 y}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{25 y}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{81}{2} + \frac{25 y}{4} = 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{81}{2} + \frac{25 y}{4} = 3$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $\frac{81}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{25 y}{4} = 3 - \frac{81}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 y}{4} = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 y}{4} = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 y}{4} = \frac{3 \cdot 2 - 81}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{25 y}{4} = \frac{6 - 81}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.5.2

Resta $81$ de $6$ .

$\frac{25 y}{4} = \frac{- 75}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{25 y}{4} = \frac{- 75}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{25 y}{4} = - \frac{75}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{25 y}{4} = - \frac{75}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 y}{4} = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 y}{4}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 y}{4} = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{25} \cdot (25 y) = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{1}{25} \cdot (25 y) = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $25$ de $25 y$ .

$\frac{1}{25} \cdot (25 (y)) = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{25} \cdot (25 y) = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{4}{25} \cdot (- \frac{75}{2})$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $\frac{4}{25} (- \frac{75}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{75}{2}$ al numerador.

$y = \frac{4}{25} \cdot \frac{- 75}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{- 75}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{- 75}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{25} \cdot - 75$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{2}{25} \cdot - 75$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $25$ de $- 75$ .

$y = \frac{2}{25} \cdot (25 (- 3))$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{25} \cdot (25 \cdot - 3)$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 \cdot - 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = 2 \cdot - 3$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 6$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{27}{2} + \frac{3 y}{4}$ por $- 6$ .

$x = \frac{27}{2} + \frac{3 (- 6)}{4}$

$y = - 6$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{27}{2} + \frac{3 (- 6)}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$x = \frac{27}{2} + \frac{- 18}{4}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$x = \frac{27}{2} + \frac{2 (- 9)}{4}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{27}{2} + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{27}{2} + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{27}{2} + \frac{- 9}{2}$

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} + \frac{- 9}{2}$

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} + \frac{- 9}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{27}{2} - \frac{9}{2}$

$y = - 6$

$x = \frac{27}{2} - \frac{9}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.3

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{27 - 9}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.3.2.1

Resta $9$ de $27$ .

$x = \frac{18}{2}$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.3.2.2

Divide $18$ por $2$ .

$x = 9$

$y = - 6$

$x = 9$

$y = - 6$

$x = 9$

$y = - 6$

$x = 9$

$y = - 6$

$x = 9$

$y = - 6$

$x = 9$

$y = - 6$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(9, - 6)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(9, - 6)$

Forma de la ecuación:

$x = 9, y = - 6$

Paso 7